2013高考数学押题卷理科高考数学押题试卷(附答案)

高考押题2013-05-27 10:00

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数学(理)试题

本试题卷分第1卷()和第Ⅱ卷(必考题和选考题两部分)。考生作答时,将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡),在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、:本大题共1 2小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={ },下图中 阴影部分所表示的集合为

A.{0,1,2} B.{1,2}

C.{1} C.{ 0,1}

2.复数 ,在复平面上对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限

3.若 ,则tan =

A . B. C. D.

4.已知命题 使得 命题 ,下列命题为真的是

A.p q B.( C. D.

5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A. B. C. D.

6.已知△ABC中,C=45°,则sin2A=sin2B一 sinAsinB=

A. B. C. D.

7.如图是计算函数 的值的程序框图,在①、②、③处分别应填入的是

A.y=ln(一x),y=0,y=2x

B.y=0,y=2x,y=In(一x)

C.y=ln(一x),y=2z,y=0

D.y=0,y=ln(一x),y=2x

8.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足

(a-c)•(b一c)=0,则|c|的值是

A.1 B.

C.2 D.

9.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6则该球的表面积为

A.16 B.24 C.32 D.48

10.在二项式( 的展开式中,各项系数之 和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中常数项的值为

A.18 B.12 C.9 D.6

11.已知函数 ,如果存在实数x1, 使得对任意的实数x,都有 成立,则 的最小值为

A. B. C. D.

12.过双曲线 的右顶点A作斜率为 一1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第2l题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22~24题为选考题,考生根据要求做答。

二、 题:本大题共4小题,每小题5分。

13.已知函数 的值是 。

14.已知圆 过坐标原点,则圆心C到直线 距离的最小值等于 .

15.已知 函数 上的奇函数,且 的图象关于直线x=1对称,当 时, .

16.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点M.则

点M恰好取自阴影部分的概率是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知数列{ }中

(I)设 ,求证数列{ }是等比数列;

(Ⅱ)求数列{ }的通项公式.

1 8.(本小题满分12分)

某校从参加某次知识竞赛的 同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图中的信息, 回答下列问题.

(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;

(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计本次考试的平均分;

(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)记0分,记[70,100]记1分,用X表示抽取结束后的总记分,求X的分布列和数学期望。

19.(本小题满分12分)

如图。在直三棱柱ABC―A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中点。

(I)求证:A1B∥平面AMC1;

(II)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值;

(Ⅲ)试问:在棱A1B1上是否存在点N,使AN与MC1成角60°?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由。

20.(本小题满分12分)已知椭圆C的方程为 左、右焦点分别为F1、F2,焦距为4 ,点M是椭圆C上一点,满足

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)分别作直线PA,PB交椭圆C于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2, ,求证:直线AB过定点,并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知函数

(1)求 的解析式及减区间;

(2)若 的最小值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。

22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲

在 ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F.使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心。

(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆;

(Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.

23.(本小题满分10分)选修4~4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数 )在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位。且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为

(I)求圆C的直角坐标方程;

(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B.若点P 的坐标为(1,2),求 的最小值.

24.(本小题满分10分)选修4―5:不等式选讲

设函数 =

(I)求函数 的最小值m;

(II)若不等式 恒成立,求实数a的取值范围.

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分,共60分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C C D A A B B D D C B C

二、题(每小题5分,共20分)

(13) (14) (15) (16)

三、解答题

(17)解:(Ⅰ)递推公式可化为 ,即 . …………3分

又 ,

所以数列 是首项为3,公比为 的等比数列. ……………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,所以 ……………7分

……………12分

(18)解:(Ⅰ)设分数在 内的频率为x,根据频率分布直方图,

则有 ,可得x=0.3.

所以频率分布直方图如图所示:

……………4分

(Ⅱ)平均 分为:

………………6分

(Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人,在[70,100]的有0.6×60=36人,

且X的可能取值是0,1,2.

则 , , .

所以X的分布列为:

X 0 1 2

P

所以EX=0× +1× +2× = . ……………12分

(19)解:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 .在三角形 中,

是三角形 的中位线,

所以 ∥ ,

又因 平面 ,

所以 ∥平面 . ……………4分

(Ⅱ)(法一)设直线 与平面 所成角为 ,

点到平面 的距离为 ,不妨设 ,则 ,

因为 , ,

所以 . ……………5分

因为 ,

所以 , .

.

, . ……………8分

(法二)如图以 所在的直线为 轴, 以 所在

的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴,

以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则 , , , , , , .设直线 与平面 所成角为 ,平面 的法向量为 .则有 , , ,

令 ,得 ,

设直线 与平面 所成角为 ,

则 . ……………8分

(Ⅲ)假设直线 上存在 点 ,使 与 成角为 .

设 ,则 , .

设其夹角为 ,

所以,

, 或 (舍去),

故 .所以在棱 上存在棱 的中点 ,使 与 成角 . 12分

(20)解:(Ⅰ)在 中,设 , ,由余弦定理得 ,

即 ,即 ,得 .

又因为 , , ,

又因为 所以 ,

所以所求椭圆的方程为 . ……………5分

(Ⅱ)显然直线 的斜率 存在,设直线方程为 , ,

由 得 ,即 ,

, ,

由 得, ,又 , ,

则 , ,

那么 ,

则直线 过定点 . ……………10分

因为 , ,

, ,

, ,

,所以 或 . ……………12分

(21)解:(Ⅰ)令 得 , ,所以 ,

, ……………3分

由 得 , 的减区间为( ). ……5分

(Ⅱ)由题意 ,

设 , . ………… …7分

当 时, 恒成立, 无值;

当 时,由 得 , 得 .

在 上为增函数,在 上为减函数.

, ,

, ……………10分

设 , ,

由 得 , 得 ,

,所以 的最小值为 . ……………12分

(22)证明:(Ⅰ) 如图,∠DEF=180°-(180°-2∠B)-(180°-2∠C)=180°-2∠A.

因此∠A是锐角,

从而 的外心与顶点A在DF的同侧,

∠DOF=2∠A=180°-∠DEF.

因此D,E,F,O四点共圆. ……………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO=∠DFO=∠FDO =∠FEO,

即O在∠DEF的平分线上. ……………10分

(23)解:(Ⅰ)由 得 ,化为直角坐标方程为 ,

即 . ……………4分

(Ⅱ)将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得 .

由 ,故可设 是上述方程的两根,

所以 又直线 过点 ,故结合t的几何意义得

=

所以 的最小值为 ……………10分

(24)解:(Ⅰ)

显然,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,

所以函数 的最小值 ……………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 恒成立,

由于 ,

等号当且仅当 时成立,故 ,解之得 或

所以实数 的取值范围为 或 ……………10分

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