理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D B C B A D C D B B A C

二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分，满分 20分．

7 2

13． 5 14． 15． 16．3.9

64 3

三．解答题：共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 题、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．【解析】（1）因为an 1 xan 1(x 0)，所以an 2 xan+1 1(x 0) ， …………2 分

两式相减可得d xd ，因为d 0，所以 x 1，则an 1 an 1，所以d 1， …………4 分

因为a1 1，所以an a1 (n 1)d n； …………6 分

（2）因为a n b ( 1)nn ， n ， anan 1

所以bn ( 1)…………9 分

则 S10…………12 分

18. 2【解析】因为学期高三学生体重指数服从正态分布N (23.9,3.3 ) ，

则学期初期肥胖率：

1 P(23.9 3.3 X 23.9 3.3) 1 0.6827

P(X 27.2) 0.15865 ， …………2 分

4 月中旬教体局抽查时，学生肥胖率为 0.1 0.15865 ， …………4 分

1 P(23.9 3.3 X 23.9 3.3) 1 0.6827

又因为P(X 27.2) 0.15865 ，

P(23.9 3.3 X 23.9 3.3) 0.6827

P(23.9 X 27.2) 0.34135 ，

P(23.9 2 3.3 X 23.9 2 3.3) 0.9545

P(17.3 X 23.9) 0.47725，

1 P(23.9 2 3.3 X 23.9 2 3.3) 1 0.9545

P(X 17.3) 0.02275，

所以初期体重指数学生平均得分为

80 0.02275 100 0.47725+80 0.34135+60 0.15865 86.372 . …………8 分

4 月中旬教体局抽查时，体重指数学生平均得分为：

— 高三理科数学参考答案（模拟二）第1页(共 6 页) —

80 3 100 25 80 17 60 5

88 86.372 ， …………11 分

所以从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度来看学校采取措施的效果是较好的.…………12 分

19. 【解析】方法一：（1）因为CD DA，CD DE，

所以CD 平面 ADE，所以面 ABCD 平面 ADE，

过E作平面 ABCD的垂线，垂足为N ， H

则点N 在平面 ABCD与平面 ADE的交线 AD的延长线上， …………2 分

因为CD CB，CD CF ， G

所以 FCB即为二面角F CD B的平面角， E

同理 EDA也为二面角F CD B的平面角，

则 EDA FCB ，故DN DE 3，

EN DE 3 3 ， …………4 分

所以BN 3 13 ，BE 12，

所以直线BE与平面 ABCD所成的 EBN 的正弦值为sin EBN ；

BE 4…………6 分

（2）因为平面 ABGH 平面 ABCD，所以GB 平面 ABCD，

又因为EN 平面 ABCD，所以EN ∥GB，所以 E ,G, B, N 四点共面， ……H……8 分

又因为DN 3， AD 6 ，所以 ， G

所以当点M 满足 时，DM∥BN ， …………10 分 F

因为BN 平面BEG，所以DM ∥平面BEG， N A

所以在线段 AB上存在一点M ，当BM 2时，DM ∥平面BEG . MC B z…………12 分

方法二：因为CD DA，CD DE， H

所以CD 平面 ADE，

过E作平面 ABCD的垂线，垂足为N ， G则点N 在 AD的延长线上， …………2 分

E因为CD CB，CD CF ，

所以 FCB即为二面角F CD B的平面角

F2π 1

则 EDA FCB ，故DN DE 3，

以 A为坐标原点，分别以 AD, AB , AH 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系，

因为FC CB 6, FCB ， GBC GFC ，所以GB HA 6 3 .

（1）因为E(9,0,3 3)，B(0 ,6,0)，所以BE (9, 6,3 3)，

平面 ABCD的一个法向量为n1

(0,0,1)，

n1 B E 3 3 3所以cos n1,BE ，

| n1 | | BE |

所以直线BE与平面 ABCD所成的角的正弦值为 ； …………6 分

（2）假设在线段 AB上是存在一点M ，设M (0,m, 0)(0 m 6) ，

因为E(9,0,3 3)，B(0,6,0)，G(0,6,6 3) ，所以BE (9, 6,3 3)，BG (0,0,6 3)，…………8 分

BE n 0

设平面BEG的法向量为n2 (x, y, z)

则BG

则 ，令 x 2 ，则n2 (2,3,0)， …………10 分

因为 M ( 0,m , 0)，D(6,0,0) ，所以DM ( 6,m,0) ，

所以DM n2 0，则m 4 ，则BM 2，

所以在线段 AB上存在一点M ，当BM 2时，DM ∥平面BEG . …………12 分

【解析】（1）由题意知a 2，因为 ( ) 1 ，所以H (1, )，…………2 分

所以 ，所以 3，即椭圆方程为 1； …………4 分

（2）方法一：设M (1,m),N (1,n),H (1, )， M

因为MN 为圆H 的直径，所以OM ON 0，则mn 1，…………6 分

设直线 AM : y (x 32)，则 ， O B

整理得到 (4m 27)x2 16m2x (16m2 108) 0 , 16m2 108 54 8m2 36m

所以 xP ( 2) ，则 x ， y ， …………8 分 4m2 27 P 4m2 27 P 4m2 27

54 8n2 36n

同理可得： xQ , y ， 4n2 27 Q 4n2 27

36m 36n

y 2 2 2P yQ 4m 27 4n 27 36m(4n 27) 36n(4m

2 27)

所以 k1 xP xQ 54 8m

2 54 8n2 2 2 2 2

2

(54 8m )(4n 27) (54 8n )(4m 27)

4m 27 4n2 27

因为 k2 ，所以 k1 k2 . …………12 分

m n 2 24

3(k t)

方法二： AM：y k(x 2)， AN：y t(x 2) ，可得M (1,3k),N (1,3t),H (1, )，

2

因为OM ON ，所以9kt 1， …………6 分

y k(x 2)

2 2 (4k 2 3)x2由 x y ，整理可得： 16k

2x (16k 2 12) 0 ，

1 4 3

16k 2 12 6 8k 2 12k

所以 xP ( 2) ，则 xP , y ， …………8 分 4k 2 3 4k 2 3 P 4k 2 3

6 8t2 12t

同理可得： xQ , y4t 2 3 Q

4t 2 3

12k 12tyP y 2 2Q 4kt 3 31 1

所以 k1

4k 3 4t 3

2 2 ， xP xQ 6 8k 6 8t 4(k t) 36 k t

4k 2 3 4t 2 3

3 31

因为 k2 (k t) ，所以 k1 k2 . …………12 分

21. 【解析】（1）当a 1时， f (x) ln x ln 2，

e (x 1) 1 (x 1)f (x) (ex 1x则 )， …………2 分

x2 x x2 x 1

(x) ex 1 x设 ，则 (x) 在 (1, )为增函数x 1

当 x 1时， (x) ， (2) e 2 0 .所以存在 x0 (1, 2)，使得 (x0 ) 0 .……4 分

当 x (1, x0 )时， (x) 0，则 f (x) 0，即 f (x) 在 (1, x0 ) 为减函数；

当 x (x0 , ) 时， (x) 0，则 f (x) 0，即 f (x) 在 (x0 , )为增函数；

所以函数 f (x) 在 (1, )只有一个极值点，即唯一极小值点； …………6 分

ex a (x 1) 1 (x 1) x

（2）由 f (x) (ex a )，x设 (x) ex a ，则 (x) 在 (1, )为增函数.

当 x 1时， (x) ，因为 a 1， (a 1) e e 1 0 .

所以存在 x (1,a 1) x，使得 (x ) e 0 a 00 0 0 . …………8 分 x0 1

由于（1）可知 f (x) f (x0 ) ln x0 ln(a 1) x0

又因为e 0，所以 f (x ) ln x ln(a 1) ，

即证：对任意 x 1, ln x0 ln(a 1) ， x0 1 a1

即证：对任意 x 1, ln x

ln(a 1) . …………10 分

设 g(x) ln x(x 1)，则 g(x)在 (1, )单调递减，

因为 x0 (1,a 1) ，所以 g(x0 ) g(a 1) ，即 ln x ln(a 1)， x0 1

故对任意 x 1, f (x) . …………12 分

22. （10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x 2cos2

【解析】（1）因为曲线C的参数方程为 （ 为参数）

y sin 2

x 1 cos 2

2 2所以 ，所以曲线C的普通方程为 (x 1) y 1， …………1 分

y sin 2

所以曲线C的极坐标方程为 2cos . …………3 分

因为直线 l的极坐标方程为 cos( ) a 0，

4

所以 cos sin 2a 0，

即直线 l的直角坐标方程为 x y 2a 0 . …………5 分

（2）方法一：设曲线C的圆心为C(1,0)，因为点O在圆上，且 AOB ，

所以 ACB ，则点C(1,0)到直线 l的距离为 ， …………7 分

|1 2a | 2

所以d ，则a 0或a 2 ， …………9 分

当a 0时，直线 l过原点O，不符合题意；

所以a 2 . …………10 分

方法二：设 A( 1, 0 ),B( 2 ,

0 ) ，所以 1 2cos 0 ， 2 2cos( 0 )，…………6 分 4 4

又因为点 A,B在直线 l上，所以 1 cos( 0 ) a 0， 2 cos( 4 0

) a 0，

则 2cos 0 cos( 0 ) 2cos( 0 ) cos( 0 )， …………8 分 4 4 2

则 0 或 0 ，则a 0或a 2 ， 4 4

当a 0时，直线 l过原点O，不符合题意；

所以a 2 . …………10 分

23. （10 分）选修 4-5：不等式选讲

【解析】（1）因为 f (x) 2|x 1| |x 1|，所以2 4x ，则 | x 1| 2x， …………1 分

x 1

① ，解得 x 1，

② ，解得 x 1，

所以不等式的解集为[ , )； …………5 分

2 y f (x) f (x 4) 2|x 1| 2|x 3| 2 2|x 1| 2|x 3|（ ） …………7 分

2 2|x 1| |x 3| 2 24 8 . …………9 分

当且仅当 x 1时， y f (x) f (x 4)取得最小值 8. …………10 分

— 高三理科数学参考答案（模拟二）第6页(共 6 页) —20220607项目第二次模拟测试卷

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟，

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位贸贴好条形码.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如

隔改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题月指定区域内相应位置上：如需改

动，先原求答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效.

4,考生必保证答题卡整洁、考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一

选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={x∈N1≤x≤3}，B={x|x2-6x+5<0},则A∩B=

A

B.1,2,3}

C.(1,3]

D.2,3}

2.已知i为虚数单位，若z=1+i,则z+2i=

A.1+i

B.√2

C.2

D.√o

3.己知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则

圆锥的侧面积为

A.2π

B.4π

C.6π

D.8元

1

s5

,则a=

8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,cosA=。,

16

A.8

B.6

c.5

D.3

5.已知a=log62,b=sin1,c=，则a,b,c的大小关系为2

A.a<c<b

B.b<a<c

C.c<b<a

D.a<b<c

x-y+120,

6.已知实数x,y满足约束条件{x+3y-3≥0，则z=x2+y2的最小值为x≤1，

A.√5

9

B.5

c.0

D.

10

10

已知函数f()=V5sinx+|cosx(-)≤；

3弧)，则方程了(x)=5的解的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

8.如图L,正方体ABCD-AB,C,D,中，点P在矩形AB,CD,内（包含边界），若三棱维P-ABC

的左视图如阳2所示，则此三校锥的俯视图不可能的是

9.已知p:-1<x<2,g:21-log2(x+2)<1,则p是g的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

10.右图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数√2,3，√，…的图形，

图中四边形ABCD的对角线相交于点O,若DO=1OB则1=

A.1

B.√2

3

6

D.√5

0

C.

2

11.

己知F,F,分别是双曲线E:

x2 y2

6=1(a>0,b>0)的左、右焦点，月也是抛物线

C:y2=2px(P>0)的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的-个公共点，若|PFHFF2I,则

双曲线E的离心率为

A.2+V3

B.2

C.25

D./3

ae"-Ix20,

12.己知函数f(x)=

(a>0),若函数f(x)的图象上存在两个点A(名，y)·

ae-xl,x<0

B(名2，y2),满足yy2-x2<0，则a的取值范围为

A.a22

B.a21

C.0<a<1

D.0<a<2

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(L,V3),b=1,若a⊥b,则1a+=」

交)”的展开式共有8项、

15.从装有4个红球和3个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则在选到的两个球颜色相同的条件下，都是红球的概单为

16.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口究度、限定速度、停车距离有关。经过安全数据统计，驾驶员反应距离

5,(单位：m)关于车速v（单位：m/s)的函数模型为s,=0.7584v:刹车距离52（单位：四）关于车速v(单位：m/s)的函数模型为52=0.072v2,反应距离与刹车距离之和称为停车距离。在某个十字路口标示小汽车最大限速v-50km/h(约14m/s),路口宽度为30m,如朵只考忠小车通行安全，黄灯亮的时间是允许城大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮s(保留两位有效数字)

三，解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答，

(一)必考题：共60分.

17.（12分)已知{a,}是公护为d(d≠0)的夺差数列，a=1,a1=xan+1.

(1)求{an}的通项公式：

(2)设6，=(-2n+.求数列仙，)的能10项和S。