2013高考数学押题:数学文科押题试卷(附答案)

高考押题2013-05-27 10:00

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数学(文)试题

本试题卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(必考题和选考题两部分)。考生作答时,将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡),在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={ },下图中阴影部分所表示的集合为

A.{0,1,2} B.{1,2}

C.{1} C.{0,1}

2.复数 ,在复平面上对应的点位于

A .第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限

3.在用二分法求方程 的一个近似解时,已将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为

A.(1,4,2) B.(1,1,4) C.(1, ) D.

4.已知命题 使得 命题 ,下列命题为真的是

A.p q B.( C. D.

5.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A. B. C. D.

6.设函数 是

A.最小正周期为 的奇函数

B.最小正周期为 的偶函数

C.最 小正 周期为 的奇函数

D.最小正周期为 的偶函数

7.如图是计算函数 的值的程序框图,在①、②、③处分别应填入的是

A.y=ln(一x),y=0,y=2x

B.y=0,y=2x,y=In(一x)

C.y=ln(一x),y=2z,y=0

D.y=0,y=ln(一x),y=2x

8.如果数列 是首项为1,公比为

的等比数列,则 等于

A. B.—32

C. D.32

9.在同一坐标系中画出函数 的图象,可能正确的是

10.已知a,b是平面内 两个互相垂直的单位向量,若向量c满足

(a-c)•(b一c)=0,则|c|的值是

A.1 B. C.2 D.

11.已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中△ABC是正三角形,AD⊥平面ABC,AD=2AB=6则该球的表面积为

A.16 B.24 C.32 D.48

12.过双曲线 的右顶点A作斜率为一1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若A,B,C三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为

A. B. C. D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第2l题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22 ~24题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13. 已知函数 的值是 。

14.已知函数 上的奇函数,且 的图象关于直线x=1对称,当 时, .

15.已知圆 过坐标原点,则圆心C到直线 距离的最小值等于 .

16. 已知函数 处取得极值,若 的最小值是 。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

(I)求证:a,c,b成等差数列;

(Ⅱ)若a-b=4,△ABC的最 大内角为120°,求△ABC的面积.

18.(本小题满分1 2分)

如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中。AB =AA1,D是BC上的一点,且AD⊥C1D.

(I)求证:A1B∥平面AC1D;

(Ⅱ)在棱CC1上是否存在一点P,使直线PB1⊥平面AC1D?若存在,找出这个点,并加以证明;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分12分)

某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元

之间,将各地价格按如下方式分成五组:第一组 [13,14);

第二组[14,15),……,第五组[17,18]。右图是按上述分

组方法得到的频率分布直方图.

(I)求价格在[16,17)内的地区数,并估计该商品价格的

中位数(精确到0.1);

(Ⅱ)设m、 n表示某两个地区的零售价格,且已知

m, ,求事件“|m-n|>l”的概率.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C的方程为 左、右焦点分别为F1、F2,焦距为4,点M是椭圆C上一点,满足

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)分别作直线PA,PB交椭圆C于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别 为k1,k2, ,求证:直线AB过定点,并求出直线AB的斜率k的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知函数

(1)若函数 和函数 在区间 上均为增函数,求实数a的取值范围;

(2)若方程 有解,求实数m的值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。

22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲

在 ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F. 使得DE=BE,FE=CE,又点O是△ADF的外心。

(Ⅰ)证明:D,E,F,O四点共圆;

(Ⅱ)证明:O在∠DEF的平分线上.

23.(本小题满分10分)选修4~4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相 同的长度单位。且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为

(I)求圆C的直角坐标方程;

(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(1,2),求 的最小值.

24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

设函数 =

(I )求函数 的最小值m;

(II)若不等式 恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题(每小题5 分,共60分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C C A A B B D D D D C

二、填空题(每小题5分,共20分)

(13) (14) (15) (16)

三、解答题(17)解:(Ⅰ)由正弦定理已知等式可化为

所以 , 3分

所以 , 所以 .

由正弦定理得, , 所以a,c,b成等差数列. ………6分

(Ⅱ)由 得 且a为边,

由 ,得: ,从而 , …10分

所以 . 12分

(18)(Ⅰ)证明:因为ABC-A1B1C1是正三棱柱,

所以CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AD.又AD⊥C1D,CC1∩C1D=C1,所以AD⊥平面BCC1B1,

所以AD⊥BC,所以D是BC的中点. 3分

如图,连接A1C,设与AC1相交于点E,则点E为A1C的中点.

连接DE,则在 中,因为D、E分别是BC、A1C的中点,所以A1B∥DE,又DE在平面AC1D内,A1B不在平面AC1D内,所以A1B∥平面AC1D. ……6分

(Ⅱ)解:存在这样的点P,且点P为CC1的中点. …7分

下面证明:由(Ⅰ)知AD⊥平面BCC1B1,故B1P⊥AD.

设PB1与C1D相交于点Q,由于△DC1C≌△PB1C1,故∠QB1C1=∠CC1D,

因为∠QC1B1=∠CDC1,从而△QC1B1∽△CDC1,所以∠C1QB1=∠DCC1=90°,所以B1P⊥C1D.因为AD∩C1D=D,所以B1P⊥平面AC1D. …12分

(19)解:(Ⅰ)价格在[16,17﹚内的频数为1-(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32,

所以价格在[16,17﹚内的地区数为50×0.32=16,…2分

设价格中位数为x,由0.06+0.16+(x-15)×0.38=0.5,解得:x=15≈15.7(元) 5分

(Ⅱ)由直方 图知,价格在 的地区数为 ,记为 、 、 ;价格在 的地区数为 ,记为 若 时,有 , , 3种情况;

若 时,有 6种情况;若 分别在 和 内时,

A B C D

x xA xB xC xD

y yA yB yC yD

z zA zB zC zD

共有12种情况. 10分所以基本事件总数为21种,

事件“ ”所包含的基本事件个数有12种.

…12分

(20)解:(Ⅰ)在 中,设 , ,由余弦定理得 ,

即 ,即 ,

得 . …2分又因为 , , ,

又 所以 ,所以所求椭圆的方程为 . ……6分

(Ⅱ)显然直线 的斜率 存在,设直线方程为 , ,

由 得 ,即 ,

, …8分

由 得, ,又 , ,

则 , ,

, …10分

那么 ,

则直线直线 过定点 . ……12分

(21)解:(Ⅰ)因为 ,

故当 时, ,当 时, ,

要使 在 上递增,必须 ,因为 ,

要使 在 上递增,必须 ,即 ,

由上得出,当 时 , 在 上均为增函数. ……6分

(Ⅱ)方程 有解 有解,

设 ,所以 ( )

随 变化如下表:

递减 极小值

递增

由于在 上, 只有一个极小值,所以 的最小值为 ,

故当 时,方程 有解. …………12分

(22)证明:(Ⅰ)如图,

=180°-2∠A.因此∠A是锐角,从而 的外心与顶点A在DF的同侧,

∠ DOF=2∠A=180°-∠DEF.因此D,E,F,O四点共圆. ………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO,

即O在∠DEF平分线上. …10分

(23)解:(Ⅰ)由 得 ,化为直角坐标方程为 ,即 . ……………4分

(Ⅱ)将 的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得

由 ,故可设 是上述方程的两根,

所以 ,又直线 过点 ,故结合t的几何意义得

=

所以 的最小值为 ……………10分

(24)解:(Ⅰ)

显然,函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,

所以函数 的最小值 ……………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 恒成立,

由于 ,

等号当且仅当 时成立,

故 ,解之得 或

所以实数 的取值范围为 或 …… ………10分

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